Parte 2 - Dinâmica
das Probabilidades no Bridge
Émile Borel, nos alerta também para outro erro possível sobre o não
correto uso da probabilidade a priori e a posteriori.
ERRO 2 :
O segundo erro a se evitar refere-se na composição do cálculo da
probabilidade final (à posteiori) de uma causa observada, por
exemplo, do descarte de uma honra, só levando em conta a
probabilidade de entrada em jogo (a priori) da causa, logo deixando
de formular uma explicação ou lei probabilística que explique sua
ocorrência através de um modelo para o comportamento do jogador
que a produziu.
Estamos falando do comportamento, da psicologia, que iremos inferir a um jogador para justificar seus possíveis procedimentos, porém para entendermos o que foi dito anteriormente vamos meditar sobre a seguinte situação narrada por Borel, que embora seja um pouco maçante, é muito importante para conceituarmos de vez o que foi dito.
Paulo retira de um baralho, 4 cartas de Espadas, 3 cartas de Paus e uma carta de Ouros. A seguir ele embaralha essas 8 cartas e as distribui em dois maços de 4 cartas. Paulo toma um maço de 4 cartas e anuncia que o maço que ele escolheu possui 3 cartas pretas e a seguir nos pergunta: - Onde está a carta de Ouros, nesse maço ou no outro?
Evidentemente Paulo irá nos detalhar que as três cartas pretas são de Espadas, ou de Paus, ou ainda duas de Espadas e uma de Paus ou uma de Espadas e duas de Paus, porém está claro que Paulo jamais incluirá a carta de Ouros no seu anúncio, pois é precisamente isto que nos cabe descobrir.
Supondo que Paulo diga que as 3 cartas pretas são de Espadas e que a seguir nos pergunte novamente qual o maço que tem a carta vermelha.
Nesse caso
podemos fazer o seguinte cálculo e análise : Existem C8,4 = 70
combinações possíveis de se formar maços de 4 cartas de um
conjunto de 8 cartas. As configurações possíveis são:
conjunto1) 4
= 1; conjunto2) 3+1
= 12; conjunto3) 3+1
= 4;
conjunto4) 2+1+1
= 18; conjunto5) 2+2
= 18; conjunto6) 1+3
= 4;
conjunto7) 1+2+1
= 12 e conjunto8) 3+1
= 1.
**************************************************
* Se Paulo fez um segundo anúncio dizendo que as três
cartas pretas eram
* de Espadas podemos afirmar que a 4a. carta, não anunciada por
Paulo, será:
* Ouros em 4 casos dentre 17 (23,5%);
* Espadas em 1 caso dentre 17 (05,9%);
* Paus em 12 casos dentre 17 (70,6%).
* conforme inferimos nos conjuntos 2 e 3 acima onde há 3 cartas de
Espadas
***************************************************
Essas conclusões são
falsas. Está certo afirmar
que de 70 possibilidades haverá 4 casos possíveis de conter 3
e 1,
que haverá 1 caso de 4
e que haverá 12 casos de 3
e 1,
porém estas são as probabilidades de início (a priori ), de
antes do anúncio de Paulo, que afirmou que havia 3 cartas de
Espadas naquele maço.
Ora, não é nada disso que buscamos. O que buscamos são
probabilidades calculadas após o anúncio de Paulo, logo precisamos
conhecer a probabilidade que estará em jogo, isto é, como estará
Paulo restrito ou com liberdade de escolha para fazer seu anúncio
(isso demanda conhecer ou inferir seu comportamento, sua
psicologia). Uma simples aplicação da formula de Bayes nos dará o
ajuste para a verdadeira probabilidade final (a posteriori), aquela
cujo efeito observado (o anúncio de Paulo) seja devido e para isso
temos que ter um modelo probabilístico do seu comportamento :
Façamos pois
uma análise da situação: Quando o maço escolhido por Paulo
possuir 4 cartas de Espadas ou 3 cartas de Espadas e 1 de Ouros ele
estará restrito a anunciar 3, porém se o maço escolhido
por Paulo possuir 4 cartas pretas, compreendida de Espadas e Paus,
surge a pergunta : Baseado em que lei ele eliminará a quarta carta
de seu anúncio?
É justamente
isso que devemos saber (sua psicologia) para poder estabelecer a
probabilidade a posteriori de modo a associá-la ao evento
observado (comportamento de Paulo para escolher a quarta carta não
divulgada). Façamos 3 hipóteses para o seu comportamento :
Primeira hipótese
psicológica para Paulo: Quando Paulo separar a quarta carta
preta, que pode ser Espadas ou Paus, 50% das vezes ele eliminará
Espadas e 50% das vezes eliminará Paus. Considerando que seu anúncio
foi 3ª
então o maço de 4 cartas escolhido por ele poderá ter os
seguintes conjuntos:
conjunto (a) 3
+ 1
conjunto (b) 3
+ 1
conjunto (c) 3
+ 1
Existe somente
uma combinação que dará o conjunto (a) para Paulo, logo se ele
recebeu o conjunto (a) é uma certeza (probabilidade = 1) que ele
anunciará 3,
pois sua escolha é restrita. Desse modo, a probabilidade
composta, calculada antes do anúncio de Paulo, para que ele possua
o conjunto (a) será igual a
1/70 x 1 = 1/70.
Considerando que
existem 12 combinações que darão o conjunto (b) para Paulo,
usando a hipótese bem razoável, formulada por Bayes, que em 50%
das vezes ele eliminará Paus e em 50% das vezes ele eliminará
Espadas, então 50% das vezes ele dirá 2
e 1
e 50% ele dirá 3
(pois aqui ele tem a liberdade de escolha ), logo a
probabilidade composta, calculada antes do anúncio de Paulo, para
que ele possua a combinação (b) é igual a:
12/70 x ½ = 6/70
Finalmente
existem 4 combinações que darão o conjunto (c) a Paulo e se Paulo
receber o conjunto (c), será uma certeza que ele anunciará 3ª,
pois ele não pode revelar a carta de Ouros, ele está restrito
a anunciar 3ª,
logo a probabilidade composta, calculada antes do anúncio de Paulo,
para que ele possua o conjunto (c) é igual a
4/70 x 1= 4/70
Aplicando agora
a fórmula de Bayes, que impõe que se trabalhe com as
probabilidades que vão entrar em jogo, ou seja, deletando-se do
conjunto universo as configurações que sabemos não ser possíveis
temos o ajuste necessário, e as probabilidades à posteriores,
calculadas após o anúncio de Paus, para que a quarta carta seja:
Espadas = 1/ (1+6+4) =
1/11 (note que cancelamos o 70 para não dificultar)
Paus = 6/ (1+6+4) = 6/11
Ouros = 4/ (1+6+4) = 4/11
Segunda hipótese psicológica
para Paulo: se Paulo
receber 4 cartas pretas, compostas por Espadas e Paus, Paulo as
embaralha e retira ao acaso uma carta para anunciar as outras 3
cartas. Paulo anunciou 3ª,
então:
- Se ele tiver o
conjunto (a), será uma certeza que ele anunciará: 3
e a probabilidade composta calculada antes do anúncio de Paulo,
para que ele receba o conjunto (a) e anuncie 3
será de:
1/70 x 1 = 1/70
- Se ele tiver o
conjunto (b), ele anunciará uma vez dentre quatro: 3
e anunciará três vezes dentre quatro que ele terá 2
+ 1.
A probabilidade composta, calculada antes do anúncio de Paulo, para
que ele revele o conjunto (b) e anuncie 3
será de:
12/70 x 1/4 = 3/70
- Finalmente se
ele tiver o conjunto (c) será uma certeza que ele anunciará 3,
e a probabilidade composta calculada antes do anúncio de Paulo para
que ele receba o conjunto (c) e anuncie 3
será de:
4/70 x 1 = 4/70
Portanto, nesta
hipótese psicológica para Paulo, as probabilidades a posteriori,
calculadas após o anúncio de Paulo, para que a sua quarta carta
seja:
Espadas = 1/ (1+3+4) = 1/8
Paus = 3/ (1+3+4) = 3/8
Ouros = 4/ (1+3+4) = 4/8
Terceira hipótese psicológica
para Paulo: quando Paulo
receber um maço que só contenha cartas pretas ele eliminará de
seu anúncio a carta do naipe que tenha menor número de cartas e se
houver igualmente duas cartas de Paus e duas cartas de Espadas ele
eliminará 50% das vezes Paus e 50% das vezes Espadas.
Nesse caso, para o conjunto (a) a probabilidade continua sendo 1/70 x 1; para o conjunto (b) a probabilidade fica sendo 12/70 x 1; para o conjunto (c) continua sendo 4/70 x 1.
Considerando que
Paulo anunciou 3ª,
então as probabilidades à posterior calculadas após o anúncio de
Paulo serão (eliminando-se o denominador 70):
Espadas = 1 / (1+12+4) = 1/17
Paus = 12 / (1+12+4) = 12/17
Ouros = 4 / (1+12+4) =
4/17
O Quadro seguinte resume as probabilidades calculadas após o anúncio de Paulo, conforme seja a hipótese de seu comportamento e o leitor poderá calmamente verificar a exatidão das mesmas.
=================================================!
! anúncio !
comportamento !
comportamento !
comportamento !
! de Paulo !
hipótese um (1) !
hipótese dois (2) !
hipótese três (3) !
!=======!==============!=============!=============!
! ! a 4a. carta será ! a 4a. carta
será !
a 4a. carta será !
! !
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!=======!====!====!=====!====!====!====!====!====!====!
! 3 ! 1/11!
6/11! 4/11 !
1/8 ! 3/8 ! 1/2 !
1/17 !12/17!
4/17 !
!=======!====!====!=====!====!====!====!====!====!====!
! 3 ! 2/3 !
não ! 1/3 ! 1/2 !
não ! 1/2 ! 4/5 !
não ! 1/5 !
!=======!====!====!=====!====!====!====!====!====!====!
! 2
e 1 !
9/23 ! 2/23!
12/23 ! 3/8 ! 1/8 ! 1/2 ! 3/17 !
não ! 4/17 !
!=======!====!====!=====!====!====!====!====!====!====!
! 2
e 1 !
2/11 ! 3/11 !
6/11 ! 1/4 ! 1/4 !
1/2 ! não ! 1/3 !
2/3 !
!=======!====!====!=====!====!====!====!====!====!====!
Transpondo essas considerações anteriores para o domínio do Bridge, podemos perceber com mais clareza que o cálculo da probabilidade a posteriori passa por uma inferência sobre o comportamento e a psicológica do jogador oponente, portanto não existe uma lei geral a ser fixada e por todos seguida. A "lei" dos 50% das vezes o jogador faz isso e 50% das vezes faz aquilo, é um simples bom senso, que é usado como um postulado por Bayes para esse tipo de situação, que usamos no emprego de situações conhecidas como "Restricted Choise".
Por outro lado, no Bridge o anúncio de Paulo equivale também a uma licitação de leilão, a numa saída de Rei, que em geral, implica numa Dama e Valete (ou 10); numa saída de Dama, que em geral, implicada, em ter o Valete e 10 (ou nove); na queda de um Rei após a batida de um Ás e finalmente na concentração de honras (A/K/Q) com um jogador determinada por sua abertura ou um dobre punitivo num contrato, etc. Como aplicação do que foi visto vamos idealizar uma hipótese para o comportamento de uma saída no jogo de Bridge:
Você está em
Sul carteando um contrato de naipe de 4ª,
após um leilão direto 1
=> 4,
e receber uma saída de Ouros que vem a ser um naipe nono lateral
onde você tem todas as cartas altas. Após Este servir Ouros você
se pergunta, qual é a melhor inferência a ser feita na distribuição
dos Ouros após a saída de OESTE. Sabemos que as probabilidades a
priori dos resíduos quando faltam 4 cartas num naipe é que Oeste
terá uma carta em 24,9%, terá duas cartas em 40,7% e terá três
cartas em 24,9%.
Assumindo agora um modelo probabilístico para a psicologia desta saída de OESTE, vamos postular que tendo seca de Ouros ele sairá 2 vezes em 3; tendo dubleton ele sairá 1 vez em 4; tendo tripleton ele sairá 1 vez em 20.
Aplicando agora
a fórmula de Bayes temos:
probabilidade composta para carta seca = 24,9% x 2/3 =
16,6%
probabilidade composta para dubleton = 40,7% x 1/4
= 10,2%
probabilidade composta para tripleton = 24,9% x
1/20 = 1,2%
Portanto a
probabilidade a posteriori para que seja saída de:
singleton = 16,6 x 100 / (16,6 + 10,2 +1,2 ) = 1660,0 / 28,0 = 59,3%
dubleton = 10,2 x 100 / (28,0) = 36,4%
tripleton = 1,2 x 100 / (28,0 ) = 4,3%
Assim sendo, se
o Carteador tiver que inferir contagem de mão e compor
probabilidades para determinar sua melhor linha de carteio, após
essa saída de Ouros, a probabilidade a posteriori de ser carta
seca em Oeste aumentou significativamente.
Do expostos pode se concluir que durante uma mão de Bridge ocorrem
várias indicações que permitem ao Carteador uma opção pela
melhor linha de carteio graças a uma boa percepção da
probabilidade a posteriori, onde uma das concepção mais úteis
está no emprego do Restricted Choise, que consiste na inferência
de comportamento e psicologia de um jogador ao servir cartas contíguas,
e que será o nosso próximo tópico, visto que agora já entendemos
a diferença entre a probabilidade a priori e a probabilidade a
posteriori.
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